Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{12 \sqrt{x}}$ , $y (16) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{12 \sqrt{x}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{12}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 2.3.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $\frac{1}{12} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $\frac{1}{12} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = \frac{1}{12} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{12} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{12} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.4.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $16$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + K$ ersetzt wird.

$0 = \frac{1}{6} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{6} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K = 0$ um.

$\frac{1}{6} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{1}{6} \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} \cdot 4^{1} + K = 0$

Schritt 4.2.4

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{6} \cdot 4 + K = 0$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{2 (3)} \cdot 4 + K = 0$

Schritt 4.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) + K = 0$

Schritt 4.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) + K = 0$

Schritt 4.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot 2 + K = 0$

Schritt 4.2.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{2}{3} + K = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $\frac{2}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - \frac{2}{3}$

Schritt 5

Setze $- \frac{2}{3}$ für $K$ in $y = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- \frac{2}{3}$ .

$y = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{6} - \frac{2}{3}$