Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - 0.1 y$ , $y (0) = 90$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 0.1 y)$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 0.1 \frac{1}{y} y$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $- 0.1$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 0.1}{y} y$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.1$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $0.1$ aus $- 0.1$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{0.1 (- 1)}{y} y$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{0.1 \cdot - 1}{y} y$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{10}$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{10}$

Schritt 1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{10}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{10} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{10} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{10} d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{10} x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{10} x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{10} x + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = - \frac{1}{10} x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{10} x + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- \frac{1}{10} x + C}$ um.

$| y | = e^{- \frac{1}{10} x + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{10}$ .

$| y | = e^{- \frac{x}{10} + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x}{10} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \frac{x}{10} + C}$ als $e^{- \frac{x}{10}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- \frac{x}{10}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \frac{x}{10}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x}{10}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- \frac{x}{10}}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $90$ für $y$ in $y = C e^{- \frac{x}{10}}$ ersetzt wird.

$90 = C e^{- \frac{0}{10}}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C e^{- \frac{0}{10}} = 90$ um.

$C e^{- \frac{0}{10}} = 90$

Schritt 6.2

Vereinfache $C e^{- \frac{0}{10}}$ .

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Schritt 6.2.1

Dividiere $0$ durch $10$ .

$C e^{- 0} = 90$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$C e^{0} = 90$

Schritt 6.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$C \cdot 1 = 90$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$C = 90$

Schritt 7

Setze $90$ für $C$ in $y = C e^{- \frac{x}{10}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $90$ .

$y = 90 e^{- \frac{x}{10}}$