Analysis Beispiele

$(\tan (x) - \sin (x) \sin (y)) d x + (\cos (x) \cos (y)) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x) - \sin (x) \sin (y)]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

Schritt 1.2.2

Da $\tan (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\tan (x)$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- \sin (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x) \sin (y)$ nach $y$ gleich $- \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\sin (y)$ nach $y$ ist $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \cos (y)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Subtrahiere $\sin (x) \cos (y)$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x) \cos (y)$

Schritt 1.4.2

Stelle die Faktoren von $- \sin (x) \cos (y)$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \cos (y) \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (y)]$

Schritt 2.2

Da $\cos (y)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\cos (x) \cos (y)$ nach $x$ gleich $\cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (- \sin (x))$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren von $\cos (y) (- \sin (x))$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \cos (y) \sin (x)$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- \cos (y) \sin (x)$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- \cos (y) \sin (x)$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (x) \cos (y) d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $\cos (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\cos (x)$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \cos (x) \int \cos (y) d y$

Schritt 5.2

Das Integral von $\cos (y)$ nach $y$ ist $\sin (y)$ .

$f (x, y) = \cos (x) (\sin (y) + C)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y) + g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) \sin (y) + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $\sin (y)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\cos (x) \sin (y)$ nach $x$ gleich $\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Schritt 8.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.1.1.1

Vereinfache $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

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Schritt 9.1.1.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (y)$

Schritt 9.1.1.1.2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Schritt 9.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.2.1

Addiere $\sin (x) \sin (y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$

Schritt 9.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

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Schritt 9.1.2.2.1

Addiere $- \sin (x) \sin (y)$ und $\sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) + 0$

Schritt 9.1.2.2.2

Addiere $\tan (x)$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

Schritt 9.1.2.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{d g}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9.1.2.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $\tan (x)$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \tan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \tan (x) d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \tan (x) d x$

Schritt 10.3

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$g (x) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + \ln (| \sec (x) |) + C$