Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 1$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 3$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 3 d x}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- 3 x + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 3 x}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} \cdot 1$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} \cdot 1$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $e^{- 3 x}$ mit $1$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x}$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x}$ um.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = e^{- 3 x}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = e^{- 3 x}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{- 3 x} y = \int e^{- 3 x} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Sei $u = - 3 x$ . Dann ist $d u = - 3 d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1.1

Es sei $u = - 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Differenziere $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 6.1.1.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Schritt 6.1.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3$

Schritt 6.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{- 3 x} y = \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 3 x} y = \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 6.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- 3 x} y = - \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$e^{- 3 x} y = - (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{3} e^{u} + C$

Schritt 6.7

Ersetze alle $u$ durch $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$ durch $e^{- 3 x}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$ durch $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{3} e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{3} e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{3} e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 3 x}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- \frac{1}{3} e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Schritt 7.3.1.2

Dividiere $- \frac{1}{3}$ durch $1$ .

$y = - \frac{1}{3} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$