Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 1$ ; when $y (0) = 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (3 x^{2} - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 3 x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = x^{3} - x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = x^{3} - x + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $4$ für $y$ in $y = x^{3} - x + K$ ersetzt wird.

$4 = 0^{3} - 0 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $0^{3} - 0 + K = 4$ um.

$0^{3} - 0 + K = 4$

Schritt 4.2

Vereinfache $0^{3} - 0 + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 0 + K = 4$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 0 + K = 4$

Schritt 4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + K$ .

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + K = 4$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 4$

Schritt 5

Setze $4$ für $K$ in $y = x^{3} - x + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $4$ .

$y = x^{3} - x + 4$