Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + (\frac{1}{x}) y = 3 x + 4$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (x)}$

Schritt 1.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x ((\frac{1}{x}) y) = x (3 x) + x \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x) + x \cdot 4$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x) + x \cdot 4$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (3 x) + x \cdot 4$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x \cdot x + x \cdot 4$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1

Bewege $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 (x \cdot x) + x \cdot 4$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2} + x \cdot 4$

Schritt 2.3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2} + 4 x$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2} + 4 x$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} + 4 x d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$x y = \int 3 x^{2} + 4 x d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x y = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x$

Schritt 6.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$x y = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

Schritt 6.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 4 x d x$

Schritt 6.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 \int x d x$

Schritt 6.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 6.6

Vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache.

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 6.6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.6.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 6.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 6.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x y = 1 x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 6.6.2.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$x y = x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 6.6.2.4

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$x y = x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.6.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.6.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x y = x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Schritt 6.6.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.6.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x y = x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

Schritt 6.6.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x y = x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Schritt 6.6.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x y = x^{3} + \frac{2}{1} x^{2} + C$

Schritt 6.6.2.5.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$x y = x^{3} + 2 x^{2} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x y = x^{3} + 2 x^{2} + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = x^{3} + 2 x^{2} + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.1.2.5

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$y = x^{2} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = x^{2} + \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

Schritt 7.3.1.2.2.5

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + \frac{C}{x}$