Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$ , $y (0) = 11$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y - 1$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Schritt 2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

Schritt 3.2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $\frac{x^{3}}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

Schritt 3.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $3$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{3}}{3}$ in den Zähler.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

Schritt 3.3.3

Bewege $- 15 x$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

Schritt 3.3.4

Bewege $- 3 y$ .

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Schritt 3.3.5

Stelle $3 y^{2}$ und $- x^{3}$ um.

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 3$ und $c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.4.3

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.5

Faktorisiere $3$ aus $9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ heraus.

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Schritt 3.6.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.5.3

Faktorisiere $3$ aus $36 K$ heraus.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.5.4

Faktorisiere $3$ aus $180 x$ heraus.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.5.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (3) + 3 (4 x^{3})$ heraus.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.5.6

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ heraus.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.5.7

Faktorisiere $3$ aus $3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ heraus.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

Schritt 5

Da $y$ positiv in der Anfangsbedingung $(0, 11)$ ist, betrachte nur $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ um $K$ zu finden. Ersetze $0$ für $x$ und $11$ für $y$ .

$11 = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$ um.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Schritt 6.3.1.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Schritt 6.3.1.1.1.3

Mutltipliziere $60$ mit $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Schritt 6.3.1.1.1.4

Addiere $3 + 0 + K$ und $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Schritt 6.3.1.1.1.5

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Schritt 6.3.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.3.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Schritt 6.3.1.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 + \sqrt{3 (3 + K)} = 11 \cdot 6$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Stelle $3$ und $K$ um.

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 11 \cdot 6$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $11$ mit $6$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 66$

Schritt 6.4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{3 (K + 3)}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 (K + 3)} = 66 - 3$

Schritt 6.4.1.2

Subtrahiere $3$ von $66$ .

$\sqrt{3 (K + 3)} = 63$

Schritt 6.4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 (K + 3)}}^{2} = 63^{2}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 (K + 3)}$ als ${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 63^{2}$

Schritt 6.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.3.2.1

Vereinfache ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.4.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.4.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Schritt 6.4.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Schritt 6.4.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 (K + 3))}^{1} = 63^{2}$

Schritt 6.4.3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(3 K + 3 \cdot 3)}^{1} = 63^{2}$

Schritt 6.4.3.2.1.3

Multipliziere.

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Schritt 6.4.3.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

${(3 K + 9)}^{1} = 63^{2}$

Schritt 6.4.3.2.1.3.2

Vereinfache.

$3 K + 9 = 63^{2}$

Schritt 6.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.3.1

Potenziere $63$ mit $2$ .

$3 K + 9 = 3969$

Schritt 6.4.4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.4.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.4.1.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 K = 3969 - 9$

Schritt 6.4.4.1.2

Subtrahiere $9$ von $3969$ .

$3 K = 3960$

Schritt 6.4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 K = 3960$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 K = 3960$ durch $3$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Schritt 6.4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Schritt 6.4.4.2.2.1.2

Dividiere $K$ durch $1$ .

$K = \frac{3960}{3}$

Schritt 6.4.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.4.2.3.1

Dividiere $3960$ durch $3$ .

$K = 1320$

Schritt 7

Setze $1320$ für $K$ in $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $1320$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 1320 + 60 x)}}{6}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1

Addiere $3$ und $1320$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 1323 + 60 x)}}{6}$

Schritt 7.2.2

Stelle die Terme um.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 60 x + 1323)}}{6}$