Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = e^{x + 2} {(2 - y)}^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{{(2 - y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} (e^{x + 2} {(2 - y)}^{2})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(2 - y)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere ${(2 - y)}^{2}$ aus $e^{x + 2} {(2 - y)}^{2}$ heraus.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} ({(2 - y)}^{2} e^{x + 2})$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} ({(2 - y)}^{2} e^{x + 2})$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = e^{x + 2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = e^{x + 2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = \int e^{x + 2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 2 - y$ . Dann ist $d u_{1} = - d y$ , folglich $- d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 2 - y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Schritt 2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Schritt 2.2.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.4.1

Bringe ${u_{1}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Schritt 2.2.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Schritt 2.2.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- 2}$ nach $u_{1}$ gleich $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}) = \int e^{x + 2} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Schreibe $- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1})$ als $- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ um.

$- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Schritt 2.2.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Schritt 2.2.6.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 - y$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = x + 2$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.1.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 2$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = e^{x + 2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 - y, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Entferne die Klammern.

$2 - y, 1, 1$

Schritt 3.1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 - y$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$ mit $2 - y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$ mit $2 - y$ .

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = e^{x + 2} \cdot 2 + e^{x + 2} (- y) + K (2 - y)$

Schritt 3.2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{x + 2}$ .

$1 = 2 \cdot e^{x + 2} + e^{x + 2} (- y) + K (2 - y)$

Schritt 3.2.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 2 \cdot e^{x + 2} - e^{x + 2} y + K (2 - y)$

Schritt 3.2.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + K \cdot 2 + K (- y)$

Schritt 3.2.3.1.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $K$ .

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 \cdot K + K (- y)$

Schritt 3.2.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 K - K y$

Schritt 3.2.3.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 K - K y$ um.

$1 = 2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1$ um.

$2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $2 e^{x + 2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1 - 2 e^{x + 2}$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $2 K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y e^{x + 2} - K y = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $- y e^{x + 2} - K y$ heraus.

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- y e^{x + 2}$ heraus.

$y (- 1 e^{x + 2}) - K y = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Schritt 3.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- K y$ heraus.

$y (- 1 e^{x + 2}) + y (- K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Schritt 3.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 1 e^{x + 2}) + y (- K)$ heraus.

$y (- 1 e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Schritt 3.3.4

Schreibe $- 1 e^{x + 2}$ als $- e^{x + 2}$ um.

$y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Schritt 3.3.5

Teile jeden Ausdruck in $y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$ durch $- e^{x + 2} - K$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$ durch $- e^{x + 2} - K$ .

$\frac{y (- e^{x + 2} - K)}{- e^{x + 2} - K} = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Schritt 3.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- e^{x + 2} - K$ .

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Schritt 3.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- e^{x + 2} - K)}{- e^{x + 2} - K} = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Schritt 3.3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Schritt 3.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Schritt 3.3.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Schritt 3.3.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{1 - 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{1 - 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} + K} - \frac{K}{- e^{x + 2} + K}$