Analysis Beispiele

$x \cdot \frac{d y}{d x} + y = x^{4} \ln (x)$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $x y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 1.4

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $1$ um.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} \ln (x)$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} \ln (x) d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$x y = \int x^{4} \ln (x) d x$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{4}$ .

$x y = \ln (x) (\frac{1}{5} x^{5}) - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$x y = \ln (x) \frac{x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{5}}{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.3

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{5} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Kombiniere $x^{5}$ und $\frac{1}{x}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{5}}{x} d x)$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x$ .

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x)$

Schritt 5.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x)$

Schritt 5.4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 5.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 5.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{4}}{1} d x)$

Schritt 5.4.2.2.5

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{4} d x)$

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \int x^{4} d x$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Schritt 5.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.6.1

Schreibe $\frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ als $\frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$ um.

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

Schritt 5.6.2

Vereinfache.

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Schritt 5.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\ln (x)$ .

$x y = \frac{\ln (x)}{5} x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

Schritt 5.6.2.2

Kombiniere $\frac{\ln (x)}{5}$ und $x^{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

Schritt 5.6.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} x^{5} + C$

Schritt 5.6.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

Schritt 6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere $x^{5}$ und $\frac{1}{25}$ .

$x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$

Schritt 6.1.2

Entferne die Klammern.

$x y = \frac{1}{5} \cdot \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{25} + C$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x$ .

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Schritt 6.2.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})$ heraus.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x^{1}} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})}{1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.1.2.5

Dividiere $\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}) + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $\frac{1}{5} (\ln (x) x^{4})$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Stelle $\ln (x)$ und $\frac{1}{5}$ um.

$y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Vereinfache $\frac{1}{5} \ln (x)$ , indem du $\frac{1}{5}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.2.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{5}}{25}$ in den Zähler.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{5}$ heraus.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3.2

Stelle die Faktoren in $\ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$ um.

$y = x^{4} \ln (x^{\frac{1}{5}}) - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$