Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$

Schritt 1

Nimm an, alle Lösungen haben die Form $x = e^{r t}$ .

Schritt 2

Ermittle die charakteristische Gleichung für $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

$\frac{d x}{d t} = r e^{r t}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

Schritt 2.3

Setze in die Differentialgleichung ein.

$r^{2} e^{r t} + 4 (r e^{r t}) + 5 e^{r t} = 10$

Schritt 2.4

Entferne die Klammern.

$r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

Schritt 2.5

Faktorisiere $e^{r t}$ aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Faktorisiere $e^{r t}$ aus $r^{2} e^{r t}$ heraus.

$e^{r t} r^{2} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $e^{r t}$ aus $4 r e^{r t}$ heraus.

$e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r) + 5 e^{r t} = 10$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $e^{r t}$ aus $e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r)$ heraus.

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + 5 e^{r t} = 10$

Schritt 2.5.4

Faktorisiere $e^{r t}$ aus $5 e^{r t}$ heraus.

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5 = 10$

Schritt 2.5.5

Faktorisiere $e^{r t}$ aus $e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5$ heraus.

$e^{r t} (r^{2} + 4 r + 5) = 10$

Schritt 2.6

Da Exponentialfunktionen nie null sein können, teile beide Seiten durch $e^{r t}$ .

$r^{2} + 4 r + 5 = 10$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} + 4 r + 5 - 10 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $10$ von $5$ .

$r^{2} + 4 r - 5 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $r^{2} + 4 r - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $4$ ist.

$- 1, 5$

Schritt 3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(r - 1) (r + 5) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 5 = 0$

Schritt 3.5

Setze $r - 1$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Setze $r - 1$ gleich $0$ .

$r - 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r = 1$

Schritt 3.6

Setze $r + 5$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Setze $r + 5$ gleich $0$ .

$r + 5 = 0$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r = - 5$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(r - 1) (r + 5) = 0$ wahr machen.

$r = 1, - 5$

Schritt 4

Mit den beiden gefundenen Werten von $r$ lassen sich zwei Lösungen entwickeln.

$x_{1} = e^{1 t}$

$x_{2} = e^{- 5 t}$

Schritt 5

Gemäß dem Überlagerungsprinzip ist die allgemeine Lösung eine Linearkombination von zwei Lösungen für eine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung.

$x = c_{1} e^{1 t} + c_{2} e^{- 5 t}$

Schritt 6

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$x = c_{1} e^{t} + c_{2} e^{- 5 t}$