Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = t^{2} - y$

Schritt 1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d t} + y = t^{2}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = 1$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int d t}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{t + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{t}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{t}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren in $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$ um.

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t^{2} e^{t}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t^{2} e^{t}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t^{2} e^{t} d t$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{t} y = \int t^{2} e^{t} d t$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t^{2}$ und $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - \int e^{t} (2 t) d t$

Schritt 7.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - (2 \int e^{t} (t) d t)$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 \int e^{t} (t) d t$

Schritt 7.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

Schritt 7.5

Das Integral von $e^{t}$ nach $t$ ist $e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

Schritt 7.6

Schreibe $t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$ als $t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ um.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ durch $e^{t}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ durch $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{t}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{t}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $t^{2}$ durch $1$ .

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{t}$ .

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Schritt 8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Dividiere $- 2 t$ durch $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 8.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{t}$ .

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Schritt 8.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Schritt 8.3.1.3.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + 2 + \frac{C}{e^{t}}$