Analysis Beispiele

$\frac{3 d y}{d x} - 18 x = - 6 x y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktoriere $\frac{d y}{d x}$ aus.

$3 \frac{d y}{d x} - 18 x = - 6 x y$

Schritt 1.2

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $18 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 \frac{d y}{d x} = - 6 x y + 18 x$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \frac{d y}{d x} = - 6 x y + 18 x$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \frac{d y}{d x} = - 6 x y + 18 x$ durch $3$ .

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} = \frac{- 6 x y}{3} + \frac{18 x}{3}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} = \frac{- 6 x y}{3} + \frac{18 x}{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 x y}{3} + \frac{18 x}{3}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 1.2.2.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 x y)}{3} + \frac{18 x}{3}$

Schritt 1.2.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (1)} + \frac{18 x}{3}$

Schritt 1.2.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 x y)}{3 \cdot 1} + \frac{18 x}{3}$

Schritt 1.2.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{1} + \frac{18 x}{3}$

Schritt 1.2.2.3.1.1.2.4

Dividiere $- 2 x y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{18 x}{3}$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $3$ .

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Schritt 1.2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $18 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{3 (6 x)}{3}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{3 (6 x)}{3 (1)}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{3 (6 x)}{3 \cdot 1}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{6 x}{1}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.2.4

Dividiere $6 x$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + 6 x$

Schritt 1.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x y + 6 x$ heraus.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y) + 6 x$

Schritt 1.3.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y) + 2 x (3)$

Schritt 1.3.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- 1 y) + 2 x (3)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y + 3)$

Schritt 1.3.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- y + 3)$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{- y + 3}$ .

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 3} (2 x (- y + 3))$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{- y + 3} (x (- y + 3))$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{- y + 3}$ .

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{- y + 3} (x (- y + 3))$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- y + 3$ .

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $- y + 3$ aus $x (- y + 3)$ heraus.

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{- y + 3} ((- y + 3) x)$

Schritt 1.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{- y + 3} ((- y + 3) x)$

Schritt 1.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{- y + 3} d y = 2 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{- y + 3} d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = - y + 3$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = - y + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $- y + 3$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| - y + 3 |) = x^{2} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| - y + 3 |) = x^{2} + C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| - y + 3 |) = x^{2} + C$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 3 |)}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| - y + 3 |)}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $\ln (| - y + 3 |)$ durch $1$ .

$\ln (| - y + 3 |) = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 3 |) = - 1 \cdot x^{2} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} - 1 \cdot C$

Schritt 3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} - C$

Schritt 3.2

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| - y + 3 |)} = e^{- x^{2} - C}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} - C} = | - y + 3 |$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $| - y + 3 | = e^{- x^{2} - C}$ um.

$| - y + 3 | = e^{- x^{2} - C}$

Schritt 3.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$- y + 3 = \pm e^{- x^{2} - C}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = \pm e^{- x^{2} - C} - 3$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- y = \pm e^{- x^{2} - C} - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \pm e^{- x^{2} - C} - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.4.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - C})$ als $- (\pm e^{- x^{2} - C})$ um.

$y = - (\pm e^{- x^{2} - C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.4.4.3.1.3

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} - C}) + 3$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - (\pm e^{- x^{2} + C}) + 3$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{- x^{2} + C}$ als $e^{- x^{2}} e^{C}$ um.

$y = - (\pm e^{- x^{2}} e^{C}) + 3$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- x^{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = - (\pm e^{C} e^{- x^{2}}) + 3$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = - (C e^{- x^{2}}) + 3$