Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y + 2$ .

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 2$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(y + 2) d y = \sin (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y + 2 d y = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = - \cos (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$