Analysis Beispiele

$\frac{d r}{d θ} = - r \tan (θ)$ , $r (π) = 2$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{r}$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} (- r \tan (θ))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \frac{1}{r} (r \tan (θ))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 1.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{r}$ in den Zähler.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $r$ aus $r \tan (θ)$ heraus.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r (\tan (θ)))$

Schritt 1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

Schritt 1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \tan (θ)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{r} d r = - \tan (θ) d θ$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{r} d r = \int - \tan (θ) d θ$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{r}$ nach $r$ ist $\ln (| r |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = \int - \tan (θ) d θ$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $θ$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \int \tan (θ) d θ$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\tan (θ)$ nach $θ$ ist $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (θ) |) + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \ln (| \sec (θ) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| r |) = - \ln (| \sec (θ) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| r |) + \ln (| \sec (θ) |) = C$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| r | | \sec (θ) |) = C$

Schritt 3.3

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| r \sec (θ) |) = C$

Schritt 3.4

Um nach $r$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| r \sec (θ) |)} = e^{C}$

Schritt 3.5

Schreibe $\ln (| r \sec (θ) |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | r \sec (θ) |$

Schritt 3.6

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $| r \sec (θ) | = e^{C}$ um.

$| r \sec (θ) | = e^{C}$

Schritt 3.6.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$

Schritt 3.6.3

Teile jeden Ausdruck in $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ durch $\sec (θ)$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ durch $\sec (θ)$ .

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Schritt 3.6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (θ)$ .

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Schritt 3.6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Schritt 3.6.3.2.1.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Schritt 3.6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.3.3.1

Separiere Brüche.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

Schritt 3.6.3.3.2

Schreibe $\sec (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Schritt 3.6.3.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (θ)}$ zu dividieren.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (θ))$

Schritt 3.6.3.3.4

Mutltipliziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (θ)$

Schritt 3.6.3.3.5

Dividiere $\pm e^{C}$ durch $1$ .

$r = (\pm e^{C}) \cos (θ)$

Schritt 3.6.3.3.6

Stelle die Faktoren in $(\pm e^{C}) \cos (θ)$ um.

$r = \cos (θ) (\pm e^{C})$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$r = \cos (θ) C$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $π$ für $θ$ und $2$ für $r$ in $r = \cos (θ) C$ ersetzt wird.

$2 = \cos (π) C$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\cos (π) C = 2$ um.

$\cos (π) C = 2$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $\cos (π) C = 2$ durch $\cos (π)$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\cos (π) C = 2$ durch $\cos (π)$ .

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (π)$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{2}{\cos (π)}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Separiere Brüche.

$C = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

Schritt 6.2.3.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (π)}$ nach $\sec (π)$ um.

$C = \frac{2}{1} \sec (π)$

Schritt 6.2.3.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$C = 2 \sec (π)$

Schritt 6.2.3.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sekans im zweiten Quadranten negativ ist.

$C = 2 (- \sec (0))$

Schritt 6.2.3.5

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$C = 2 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 6.2.3.6

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 6.2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$C = 2 \cdot - 1$

Schritt 6.2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$C = - 2$

Schritt 7

Setze $- 2$ für $C$ in $r = \cos (θ) C$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $- 2$ .

$r = \cos (θ) \cdot - 2$

Schritt 7.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\cos (θ)$ .

$r = - 2 \cos (θ)$