Analysis Beispiele

$2 x d y + 3 y d x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $3 y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x d y = - 3 y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2}{y} d y = - 3 \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{x y} y d x$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y x} y d x$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y x} y d x$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{x} d x$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$2 \ln (| y |) = - 3 \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache $2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x |)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y |}^{2}) + 3 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (y^{2}) + 3 \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2.1.1.3

Vereinfache $3 \ln (| x |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (y^{2}) + \ln ({| x |}^{3}) = C$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{2} {| x |}^{3}) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y^{2} {| x |}^{3})} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (y^{2} {| x |}^{3}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} {| x |}^{3}$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ um.

$y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ durch ${| x |}^{3}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ durch ${| x |}^{3}$ .

$\frac{y^{2} {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x |}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Schritt 5.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.1

Schreibe $\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$ als ${(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{e^{C}}{| x |}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $e^{C}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{3}}}$

Schritt 5.5.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${| x |}^{2}$ aus ${| x |}^{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{2} | x |}}$

Schritt 5.5.4.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{2} | x |}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{e^{C}}{| x |}}$

Schritt 5.5.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{| x |} \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Schritt 5.5.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ als $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ um.

$y = \pm \frac{1}{| x |} \cdot \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$

Schritt 5.5.4.4

Kombinieren.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$

Schritt 5.5.4.5

Mutltipliziere $\sqrt{e^{C}}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$

Schritt 5.5.4.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ mit $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$

Schritt 5.5.4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ mit $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | \sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}$

Schritt 5.5.4.7.2

Bewege $\sqrt{| x |}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | (\sqrt{| x |} \sqrt{| x |})}$

Schritt 5.5.4.7.3

Potenziere $\sqrt{| x |}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |})}$

Schritt 5.5.4.7.4

Potenziere $\sqrt{| x |}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1})}$

Schritt 5.5.4.7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.4.7.6

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{2}}$

Schritt 5.5.4.7.7

Schreibe ${\sqrt{| x |}}^{2}$ als $| x |$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.7.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{| x |}$ als ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.4.7.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.4.7.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.7.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.7.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.4.7.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{1}}$

Schritt 5.5.4.7.7.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | | x |}$

Schritt 5.5.4.8

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x | | x |}$

Schritt 5.5.4.9

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x \cdot x |}$

Schritt 5.5.4.10

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.4.10.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x^{2} |}$

Schritt 5.5.4.10.2

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

Schritt 5.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{C | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{C | x |}}{x^{2}}$