Analysis Beispiele

$x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d y}{d x} = x y + x^{2} + y^{2}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y)}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y)}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x \cdot x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ als ${(\frac{y}{x})}^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 1 + {(\frac{y}{x})}^{2}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 1 + V^{2}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 1 + V^{2}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V + 1 + V^{2} - V$

Schritt 6.1.1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V + 1 + V^{2} - V$ .

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Schritt 6.1.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2} + 0$

Schritt 6.1.1.1.2.2

Addiere $1 + V^{2}$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$

Schritt 6.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = 1 + V^{2}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{x} + \frac{V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + V^{2}$ .

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Schritt 6.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ nach $V$ ist $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\arctan (V) = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $V$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$V = \tan (\ln (| x |) + C)$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \tan (\ln (| x |) + C)$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \tan (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Stelle die Faktoren in $\tan (\ln (| x |) + C) x$ um.

$y = x \tan (\ln (| x |) + C)$