Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - y + x - 1}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y - y) + x - 1}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - 1) + 1 (x - 1)}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 1) (y + 1)}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1))$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $y + 1$ aus $\frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1)$ heraus.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x - 1}{x^{2} - 4})$

Schritt 1.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x - 1}{x^{2} - 4})$

Schritt 1.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 2^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = y + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = y + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 2.3.1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.3.1.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Schritt 2.3.1.1.2

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Schritt 2.3.1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 2.3.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 2.3.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 2.3.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 2.3.1.1.5.2

Dividiere $x - 1$ durch $1$ .

$x - 1 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 2.3.1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 2.3.1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 1 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 2.3.1.1.6.1.2

Dividiere $(A) (x - 2)$ durch $1$ .

$x - 1 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 2.3.1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 1 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 2.3.1.1.6.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $A$ .

$x - 1 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 2.3.1.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 2.3.1.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 1 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 2.3.1.1.6.4.2

Dividiere $(B) (x + 2)$ durch $1$ .

$x - 1 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

Schritt 2.3.1.1.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 1 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

Schritt 2.3.1.1.6.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $B$ .

$x - 1 = A x - 2 A + B x + 2 B$

Schritt 2.3.1.1.7

Bewege $- 2 A$ .

$x - 1 = A x + B x - 2 A + 2 B$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.3.1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + B$

Schritt 2.3.1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Schritt 2.3.1.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$1 = A + B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

$1 = A + B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Schritt 2.3.1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.3.1.3.1

Löse in $1 = A + B$ nach $A$ auf.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 1$ um.

$A + B = 1$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Schritt 2.3.1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1 - B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $- 1 = - 2 A + 2 B$ durch $1 - B$ .

$- 1 = - 2 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.2.2.1

Vereinfache $- 2 (1 - B) + 2 B$ .

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Schritt 2.3.1.3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.1.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 1 = - 2 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.1.3.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 1 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.1.3.2.2.1.2

Addiere $2 B$ und $2 B$ .

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.1.3.3

Löse in $- 1 = - 2 + 4 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 2.3.1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 + 4 B = - 1$ um.

$- 2 + 4 B = - 1$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1.3.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 B = - 1 + 2$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.1.3.3.2.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$4 B = 1$

$A = 1 - B$

$4 B = 1$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $4 B = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 B = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

Schritt 2.3.1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{1}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.1.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = 1 - B$ durch $\frac{1}{4}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{4})$

$B = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.4.2.1

Vereinfache $1 - (\frac{1}{4})$ .

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Schritt 2.3.1.3.4.2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.3.4.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{4 - 1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.3.4.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = \frac{3}{4}, B = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{3}{4}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Schritt 2.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Schritt 2.3.1.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 2}$

Schritt 2.3.1.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{x - 2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{3}{4 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{4}$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{x + 2} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Schritt 2.3.4

Sei $u_{2} = x + 2$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Es sei $u_{2} = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 2.3.4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.4.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} d x$

Schritt 2.3.7

Sei $u_{3} = x - 2$ . Dann ist $d u_{3} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 2.3.7.1

Es sei $u_{3} = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.7.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 2.3.7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3.7.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{3} |) + C_{3})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{3} |) + C_{4}$

Schritt 2.3.10

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 2.3.10.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{3} |) + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2

Ersetze alle $u_{3}$ durch $x - 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $\ln (| x + 2 |)$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C$

Schritt 3.1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (| x - 2 |)$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$ mit $4$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$ mit $4$ .

$\ln (| y + 1 |) \cdot 4 = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\ln (| y + 1 |)$ .

$4 \ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + C \cdot 4$

Schritt 3.2.3.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $C$ .

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $4 \ln (| y + 1 |)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $4 \ln (| y + 1 |)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y + 1 |}^{4}) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Schritt 3.3.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y + 1 |}^{4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Schritt 3.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache $3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$ .

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache $3 \ln (| x + 2 |)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = \ln ({| x + 2 |}^{3}) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Schritt 3.4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = \ln ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) + 4 C$

Schritt 3.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln ({(y + 1)}^{4}) - \ln ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = 4 C$

Schritt 3.6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}) = 4 C$

Schritt 3.7

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |})} = e^{4 C}$

Schritt 3.8

Schreibe $\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}) = 4 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = \frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Schritt 3.9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.9.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} = e^{4 C}$ um.

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} = e^{4 C}$

Schritt 3.9.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ .

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

Schritt 3.9.3

Vereinfache.

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Schritt 3.9.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ .

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Schritt 3.9.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

Schritt 3.9.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 1)}^{4} = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

Schritt 3.9.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.9.3.2.1

Entferne die Klammern.

${(y + 1)}^{4} = e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$

Schritt 3.9.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.9.4.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Schritt 3.9.4.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ .

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Schritt 3.9.4.2.1

Schreibe $e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ als ${(e^{C})}^{4} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$ um.

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Schritt 3.9.4.2.1.1

Schreibe $e^{4 C}$ als ${(e^{C})}^{4}$ um.

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{{(e^{C})}^{4} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Schritt 3.9.4.2.1.2

Füge Klammern hinzu.

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{{(e^{C})}^{4} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)}$

Schritt 3.9.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y + 1 = \pm e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Schritt 3.9.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.9.4.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y + 1 = e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Schritt 3.9.4.3.2

Stelle die Faktoren in $e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ um.

$y + 1 = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C}$

Schritt 3.9.4.3.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

Schritt 3.9.4.3.4

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y + 1 = - e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Schritt 3.9.4.3.5

Stelle die Faktoren in $- e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ um.

$y + 1 = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C}$

Schritt 3.9.4.3.6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

Schritt 3.9.4.3.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} C - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} C - 1$