Analysis Beispiele

$(e^{2 x} y^{2} - 2 x) d x + e^{2 x} (y d) y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = e^{2 x} y^{2} - 2 x$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2} - 2 x]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 x} y^{2} - 2 x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $e^{2 x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{2 x} y^{2}$ nach $y$ gleich $e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} (2 y) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 1.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} y + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 1.4

Da $- 2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} y + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $2 e^{2 x} y$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} y$

Schritt 1.5.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{2 x} y$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y e^{2 x}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = e^{2 x} y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$

Schritt 2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{2 x} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Schritt 2.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y e^{2 x} \cdot 2$

Schritt 2.4.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot (y e^{2 x})$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Stelle die Faktoren von $2 y e^{2 x}$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x} y$

Schritt 2.5.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{2 x} y$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 y e^{2 x}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 y e^{2 x}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} y d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = e^{2 x} y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $e^{2 x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $e^{2 x}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 5.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$f (x, y) = e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.3.2.2

Kombiniere $\frac{e^{2 x}}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

Schritt 5.3.3

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ .

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{e^{2 x}}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.3.3

Da $\frac{y^{2}}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 8.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.3.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.3.9

Kombiniere $2$ und $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.3.10

Kombiniere $\frac{2 y^{2}}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.3.11.2

Dividiere $y^{2} e^{2 x}$ durch $1$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 8.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ um.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Stelle die Faktoren in $e^{2 x} y^{2} - 2 x$ um.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = y^{2} e^{2 x} - 2 x$

Schritt 9.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $y^{2} e^{2 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{2 x} - 2 x - y^{2} e^{2 x}$

Schritt 9.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} e^{2 x} - 2 x - y^{2} e^{2 x}$ .

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Schritt 9.1.2.2.1

Subtrahiere $y^{2} e^{2 x}$ von $y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x + 0$

Schritt 9.1.2.2.2

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $- 2 x$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 2 x d x$

Schritt 10.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$g (x) = - 2 \int x d x$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 10.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$g (x) = - x^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - x^{2} + C$

Schritt 12

Vereinfache $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - x^{2} + C$ .

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - x^{2} + C$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $\frac{e^{2 x}}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - x^{2} + C$

Schritt 12.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - x^{2} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} - x^{2} + C$