Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 6 y^{2} x$ , $y (1) = \frac{1}{25}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (6 y^{2} x)$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x)$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} x)$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} x$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} (x))$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} x)$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 6 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 6 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 6 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 6 x d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 6 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$ mit $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = 3 x^{2} y + K y$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{2} y + K y = - 1$ um.

$3 x^{2} y + K y = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $3 x^{2} y + K y$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $3 x^{2} y$ heraus.

$y (3 x^{2}) + K y = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $K y$ heraus.

$y (3 x^{2}) + y K = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (3 x^{2}) + y K$ heraus.

$y (3 x^{2} + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y (3 x^{2} + K) = - 1$ durch $3 x^{2} + K$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (3 x^{2} + K) = - 1$ durch $3 x^{2} + K$ .

$\frac{y (3 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{2} + K$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (3 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Schritt 4

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $\frac{1}{25}$ für $y$ in $y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$ ersetzt wird.

$\frac{1}{25} = - \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K}$

Schritt 5

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K} = \frac{1}{25}$ um.

$- \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K} = \frac{1}{25}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{3 \cdot 1 + K} = \frac{1}{25}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 + K, 25$

Schritt 5.3.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 5.3.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 5.3.4

$25$ hat Faktoren von $5$ und $5$ .

$5 \cdot 5$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25$

Schritt 5.3.6

Der Teiler von $3 + K$ ist $3 + K$ selbst.

$(3 + K) = 3 + K$

$(3 + K)$ occurs $1$ time.

Schritt 5.3.7

Das kgV von $3 + K$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$3 + K$

Schritt 5.3.8

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$25 (3 + K)$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$ mit $25 (3 + K)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$ mit $25 (3 + K)$ .

$- \frac{1}{3 + K} (25 (3 + K)) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 + K$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3 + K}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{3 + K} (25 (3 + K)) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Schritt 5.4.2.1.2

Faktorisiere $3 + K$ aus $25 (3 + K)$ heraus.

$\frac{- 1}{3 + K} ((3 + K) \cdot 25) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Schritt 5.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3 + K} ((3 + K) \cdot 25) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Schritt 5.4.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Schritt 5.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$- 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Schritt 5.4.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 25 = 3 + K$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $3 + K = - 25$ um.

$3 + K = - 25$

Schritt 5.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 25 - 3$

Schritt 5.5.2.2

Subtrahiere $3$ von $- 25$ .

$K = - 28$

Schritt 6

Setze $- 28$ für $K$ in $y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$ ein und vereinfache.

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Schritt 6.1

Ersetze $K$ durch $- 28$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{2} - 28}$