Analysis Beispiele

$y^{2} d y - (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{y^{3}}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{y^{3}}{x}]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + \frac{y^{3}}{x}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}])$

Schritt 2.4

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}])$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$

Schritt 2.6

Da $\frac{1}{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{3}}{x}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3}])$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{x} (3 y^{2})$

Schritt 2.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \frac{1}{x} y^{2}$

Schritt 2.8.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{- 3}{x} y^{2}$

Schritt 2.8.3

Kombiniere $\frac{- 3}{x}$ und $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{- 3 y^{2}}{x}$

Schritt 2.8.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{3 y^{2}}{x}$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y^{2}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- \frac{3 y^{2}}{x}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $0$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- \frac{3 y^{2}}{x} = 0$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- \frac{3 y^{2}}{x} = 0$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- \frac{3 y^{2}}{x}$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $0$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} + 0}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $y^{2}$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $y^{2}$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} + 0}{y^{2}}$

Schritt 5.3.2

Addiere $- \frac{3 y^{2}}{x}$ und $0$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x}}{y^{2}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 y^{2}}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 5.3.4.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 3 y^{2}$ heraus.

$\frac{y^{2} \cdot - 3}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 5.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} \cdot - 3}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Schritt 5.3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{x}$

Schritt 5.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Schritt 6.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache $- 3 \ln (| x |)$ , indem du $- 3$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Schritt 6.6.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x + y^{2} d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}) \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Um $- x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.4.2

Kombiniere $- x^{2}$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- x^{2} x}{x} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- x^{2} x - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{- (x^{1} x^{2}) - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.4.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{- x^{1 + 2} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.4.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{- x^{3} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.4.4.4

Schreibe $- x^{3}$ als ${(- x)}^{3}$ um.

$\frac{\frac{{(- x)}^{3} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.4.4.5

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = - x$ und $b = y$ .

$\frac{\frac{(- x - y) ({(- x)}^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.4.4.6

Vereinfache.

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Schritt 7.4.4.6.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$\frac{\frac{(- x - y) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.4.4.6.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{(- x - y) (1 x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.4.4.6.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.6

Kombinieren.

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x \cdot x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.7

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 7.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{1} x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{1 + 3}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.7.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.8

Mutltipliziere $(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ mit $1$ .

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{(- (x) - (y)) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (y)$ heraus.

$\frac{- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.12

Schreibe $- (x + y)$ als $- 1 (x + y)$ um.

$\frac{- 1 (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 7.14

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 7.15

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + \frac{y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{2}}{x^{3}} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $\frac{1}{x^{3}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{x^{3}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int y^{2} d y$

Schritt 9.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Schritt 9.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ als $\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 9.3.2

Vereinfache.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{3}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3} \cdot 3} y^{3} + C$

Schritt 9.3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3 \cdot x^{3}} y^{3} + C$

Schritt 9.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3 x^{3}} y^{3} + C$

Schritt 9.3.2.4

Kombiniere $\frac{1}{3 x^{3}}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $\frac{y^{3}}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{3}}{3 x^{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 12.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 12.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.3.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.8

Kombiniere $- 3$ und $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3}}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.9

Kombiniere $\frac{- 3 y^{3}}{3}$ und $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 y^{3} x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.10

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 12.3.11.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y^{3}$ heraus.

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$\frac{3 (- y^{3})}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1.1

Addiere $\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.3.1

Multipliziere $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x \cdot x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.3.2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.3.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 13.1.1.3.2.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{1} x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{1 + 2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x (x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.3.2.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - (x \cdot x) y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y (x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.3.2.5.1

Bewege $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - (y \cdot y) x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2.6

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.3.2.6.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 13.1.1.3.2.6.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1} y^{2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2.6.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}$ .

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Schritt 13.1.1.3.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $- x^{2} y$ und $y x^{2}$ neu an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + x^{2} y - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.2

Addiere $- x^{2} y$ und $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x y^{2} + 0 - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.3

Addiere $x^{3} + x y^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x y^{2} - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.4

Ordne die Faktoren in den Termen $x y^{2}$ und $- y^{2} x$ neu an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + y^{2} x - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.5

Subtrahiere $y^{2} x$ von $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3.6

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- y^{3} + x^{3} + y^{3}$ .

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Schritt 13.1.1.4.1

Addiere $- y^{3}$ und $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} + 0}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.4.2

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3}}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 13.1.1.5.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.1.5.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x} = 0$

Schritt 13.1.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x} = 0$

Schritt 13.1.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $\frac{1}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $- \frac{1}{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 14.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 14.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Schritt 14.5

Vereinfache.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} - \ln (| x |) + C$