Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ als $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ um.

$y + C_{1} = \int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.3.1.1.2

Addiere $x$ und $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.3.1.3.1

Bewege $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.3.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.3.1.3.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Vereinfache $- e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Multipliziere $e^{- x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.3.1.5.1

Bewege $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.3.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.3.1.5.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.3.1.6

Vereinfache $- e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.3.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

Schritt 2.3.1.3.1.8

Multipliziere $e^{- x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.3.1.8.1

Bewege $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

Schritt 2.3.1.3.1.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

Schritt 2.3.1.3.1.8.3

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

Schritt 2.3.1.3.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

Schritt 2.3.1.3.1.10

Mutltipliziere $e^{- 2 x}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 2.3.3

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.3.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 2.3.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 2.3.7

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 2.3.8

Sei $u_{2} = - 2 x$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.8.1

Es sei $u_{2} = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.8.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.3.8.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 2.3.8.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 2.3.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

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Schritt 2.3.9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.9.2

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.12

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{4})$

Schritt 2.3.13

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} - 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Schritt 2.3.14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 2.3.14.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Schritt 2.3.14.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C_{5}$

Schritt 2.3.15

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 x + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 x + K$