Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{x}{y}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Subtrahiere $\frac{x}{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Addiere $\frac{y}{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{y} = \frac{y}{x}$

Schritt 1.1.2.2

Addiere $\frac{x}{y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{x}{y}$ als ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + V^{- 1}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + V^{- 1}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V}$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{1}{V} - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V + \frac{1}{V} - V$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.2.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + 0$

Schritt 6.1.1.2.2.2

Addiere $\frac{1}{V}$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$ durch $x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $V$ .

$V \frac{d V}{d x} = V (\frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V x}$

Schritt 6.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.2.1

Faktorisiere $V$ aus $V x$ heraus.

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V (x)}$

Schritt 6.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V x}$

Schritt 6.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$V d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $V$ nach $V$ gleich $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} V^{2} = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} V^{2}) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} V^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $V^{2}$ .

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$V^{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V^{2} = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 6.3.3

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$V^{2} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Schritt 6.3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$V = \pm \sqrt{\ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Schritt 6.3.5

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$V = \pm \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Schritt 6.3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Schritt 6.3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Schritt 6.3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}, - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Forme um.

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Schritt 8.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Schritt 8.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Schritt 9

Löse $\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Forme um.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Schritt 9.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Schritt 9.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Schritt 9.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Schritt 10

Liste die Lösungen auf.

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x, y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$