Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \ln (x)}{x}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{y + \ln (x)}{x}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $\frac{y}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $- \frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $- \frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 1}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.2.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.2.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 3.3

Multipliziere $\frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$ .

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x \cdot x}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x}$

Schritt 3.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x^{1}}$

Schritt 3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 7.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{- 2} d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Schritt 7.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Schritt 7.3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Schritt 7.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Schritt 7.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7.5.1.2

Mutltipliziere $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7.5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.5.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 7.5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x$

Schritt 7.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$

Schritt 7.7

Schreibe $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$ als $- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$ um.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1.1

Addiere $\frac{\ln (x)}{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} = - \frac{1}{x} + C$

Schritt 8.1.2

Addiere $\frac{1}{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} = C$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

Schritt 8.1.4

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

Schritt 8.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $\frac{\ln (x)}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x} + \frac{1}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}$

Schritt 8.2.3

Addiere $C$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x} = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{\ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 8.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (x)}{x}$ in den Zähler.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \ln (x) - \frac{1}{x} x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

Schritt 8.4.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \ln (x) - 1 + C x$

Schritt 8.4.2.1.3

Bewege $- 1$ .

$y = - \ln (x) + C x - 1$

Schritt 8.4.2.1.4

Stelle $- \ln (x)$ und $C x$ um.

$y = C x - \ln (x) - 1$