Analysis Beispiele

$\frac{d p}{d z} = - \frac{1}{x} p$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{p}$ .

$\frac{1}{p} \frac{d p}{d z} = \frac{1}{p} (- \frac{1}{x} p)$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{p} \frac{d p}{d z} = - \frac{1}{p} (\frac{1}{x} p)$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p$ .

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Schritt 1.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{p}$ in den Zähler.

$\frac{1}{p} \frac{d p}{d z} = \frac{- 1}{p} (\frac{1}{x} p)$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $p$ aus $\frac{1}{x} p$ heraus.

$\frac{1}{p} \frac{d p}{d z} = \frac{- 1}{p} (p \frac{1}{x})$

Schritt 1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{p} \frac{d p}{d z} = \frac{- 1}{p} (p \frac{1}{x})$

Schritt 1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{p} \frac{d p}{d z} = - \frac{1}{x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{p} d p = - \frac{1}{x} d z$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{p} d p = \int - \frac{1}{x} d z$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{p}$ nach $p$ ist $\ln (| p |)$ .

$\ln (| p |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d z$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| p |) + C_{1} = - \frac{1}{x} z + C_{2}$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $z$ und $\frac{1}{x}$ .

$\ln (| p |) + C_{1} = - \frac{z}{x} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| p |) = - \frac{z}{x} + C$

Schritt 3

Löse nach $p$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $p$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| p |)} = e^{- \frac{z}{x} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| p |) = - \frac{z}{x} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{z}{x} + C} = | p |$

Schritt 3.3

Löse nach $p$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| p | = e^{- \frac{z}{x} + C}$ um.

$| p | = e^{- \frac{z}{x} + C}$

Schritt 3.3.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$p = \pm e^{- \frac{z}{x} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \frac{z}{x} + C}$ als $e^{- \frac{z}{x}} e^{C}$ um.

$p = \pm e^{- \frac{z}{x}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \frac{z}{x}}$ und $e^{C}$ um.

$p = \pm e^{C} e^{- \frac{z}{x}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$p = C e^{- \frac{z}{x}}$