Analysis Beispiele

$\frac{d r}{d q} = \frac{2000}{\sqrt{300 q}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d r = \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d r = \int \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$r + C_{1} = \int \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2000$ konstant bezüglich $q$ ist, ziehe $2000$ aus dem Integral.

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{300 q}} d q$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 300 q$ . Dann ist $d u = 300 d q$ , folglich $\frac{1}{300} d u = d q$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 300 q$ . Ermittle $\frac{d u}{d q}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $300 q$ .

$\frac{d}{d q} [300 q]$

Schritt 2.3.2.1.2

Da $300$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $300 q$ nach $q$ gleich $300 \frac{d}{d q} [q]$ .

$300 \frac{d}{d q} [q]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ gleich $n q^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$300 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $300$ mit $1$ .

$300$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{300} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{300}$ .

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 300} d u$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $300$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{300 \sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{300}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{300}$ aus dem Integral.

$r + C_{1} = 2000 (\frac{1}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{300}$ und $2000$ .

$r + C_{1} = \frac{2000}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2000$ und $300$ .

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Schritt 2.3.5.1.2.1

Faktorisiere $100$ aus $2000$ heraus.

$r + C_{1} = \frac{100 (20)}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.1.2.2.1

Faktorisiere $100$ aus $300$ heraus.

$r + C_{1} = \frac{100 \cdot 20}{100 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r + C_{1} = \frac{100 \cdot 20}{100 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.5.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.5.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $\frac{20}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $\frac{20}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Kombiniere $\frac{20}{3}$ und $2$ .

$r + C_{1} = \frac{20 \cdot 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $2$ .

$r + C_{1} = \frac{40}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $300 q$ .

$r + C_{1} = \frac{40}{3} {(300 q)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$r = \frac{40}{3} {(300 q)}^{\frac{1}{2}} + K$