Analysis Beispiele

$\frac{d u}{d t} + 6 u t^{2} = t^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $6 u t^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d u}{d t} = t^{2} - 6 u t^{2}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{2} - 6 u t^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d u}{d t} = t^{2} \cdot 1 - 6 u t^{2}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $t^{2}$ aus $- 6 u t^{2}$ heraus.

$\frac{d u}{d t} = t^{2} \cdot 1 + t^{2} (- 6 u)$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{2} \cdot 1 + t^{2} (- 6 u)$ heraus.

$\frac{d u}{d t} = t^{2} (1 - 6 u)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 - 6 u}$ .

$\frac{1}{1 - 6 u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{1 - 6 u} (t^{2} (1 - 6 u))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 6 u$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $1 - 6 u$ aus $t^{2} (1 - 6 u)$ heraus.

$\frac{1}{1 - 6 u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{1 - 6 u} ((1 - 6 u) t^{2})$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 - 6 u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{1 - 6 u} ((1 - 6 u) t^{2})$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 - 6 u} \frac{d u}{d t} = t^{2}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 - 6 u} d u = t^{2} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 - 6 u} d u = \int t^{2} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 1 - 6 u$ . Dann ist $d u_{1} = - 6 d u$ , folglich $- \frac{1}{6} d u_{1} = d u$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 1 - 6 u$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $1 - 6 u$ .

$\frac{d}{d u} [1 - 6 u]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 6 u$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 6 u]$ .

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 6 u]$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [- 6 u]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d u} [- 6 u]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- 6 u$ nach $u$ gleich $- 6 \frac{d}{d u} [u]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d u} [u]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$0 - 6$

Schritt 2.2.1.1.4

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$- 6$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 6} d u_{1} = \int t^{2} d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{6}) d u_{1} = \int t^{2} d t$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 6} d u_{1} = \int t^{2} d t$

Schritt 2.2.2.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int t^{2} d t$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{6 u_{1}} d u_{1} = \int t^{2} d t$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int t^{2} d t$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int t^{2} d t$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int t^{2} d t$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 - 6 u$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 u |) + C_{1} = \int t^{2} d t$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 u |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 u |) = \frac{1}{3} t^{3} + C$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 6$ .

$- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 u |)) = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 6 (- \frac{1}{6} \ln (| 1 - 6 u |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| 1 - 6 u |)$ und $\frac{1}{6}$ .

$- 6 (- \frac{\ln (| 1 - 6 u |)}{6}) = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| 1 - 6 u |)}{6}$ in den Zähler.

$- 6 \frac{- \ln (| 1 - 6 u |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$6 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 6 u |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 6 u |)}{6} = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| 1 - 6 u |) = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 6 u |) = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (| 1 - 6 u |)$ mit $1$ .

$\ln (| 1 - 6 u |) = - 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{3}$ .

$\ln (| 1 - 6 u |) = - 6 (\frac{t^{3}}{3} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 - 6 u |) = - 6 \frac{t^{3}}{3} - 6 C$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\ln (| 1 - 6 u |) = 3 (- 2) \frac{t^{3}}{3} - 6 C$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 1 - 6 u |) = 3 \cdot - 2 \frac{t^{3}}{3} - 6 C$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 - 6 u |) = - 2 t^{3} - 6 C$

Schritt 3.3

Um nach $u$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 1 - 6 u |)} = e^{- 2 t^{3} - 6 C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (| 1 - 6 u |) = - 2 t^{3} - 6 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 t^{3} - 6 C} = | 1 - 6 u |$

Schritt 3.5

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $| 1 - 6 u | = e^{- 2 t^{3} - 6 C}$ um.

$| 1 - 6 u | = e^{- 2 t^{3} - 6 C}$

Schritt 3.5.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 - 6 u = \pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}$

Schritt 3.5.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 u = \pm e^{- 2 t^{3} - 6 C} - 1$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 6 u = \pm e^{- 2 t^{3} - 6 C} - 1$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 u = \pm e^{- 2 t^{3} - 6 C} - 1$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 u}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 u}{- 6} = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{- 6} + \frac{- 1}{- 6}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.3.1.1

Vereinfache $\frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{- 6}$ .

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{6} + \frac{- 1}{- 6}$

Schritt 3.5.4.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C}}{6} + \frac{1}{6}$

Schritt 3.5.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} - 6 C} + 1}{6}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3} + C} + 1}{6}$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{- 2 t^{3} + C}$ als $e^{- 2 t^{3}} e^{C}$ um.

$u = \frac{\pm e^{- 2 t^{3}} e^{C} + 1}{6}$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- 2 t^{3}}$ und $e^{C}$ um.

$u = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 t^{3}} + 1}{6}$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$u = \frac{C e^{- 2 t^{3}} + 1}{6}$