Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y}$ und $y (1) = - 3$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = 2 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = 2 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int 2 x d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{2} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (x^{2} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 x^{2} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{2 x^{2} + 2 K}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Schritt 4

Da $y$ negativ in der Anfangsbedingung $(1, - 3)$ ist, betrachte nur $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ um $K$ zu finden. Ersetze $1$ für $x$ und $- 3$ für $y$ .

$- 3 = - \sqrt{2 (1^{2} + K)}$

Schritt 5

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$ um.

$- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$

Schritt 5.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{2 (1^{2} + K)})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (1^{2} + K)}$ als ${(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache ${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

${(- {(2 (1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(- {(2 \cdot 1 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

${(- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3.2

Wende die Produktregel auf $- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3.4

Mutltipliziere ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 + 2 K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.4

Vereinfache.

$2 + 2 K = {(- 3)}^{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$2 + 2 K = 9$

Schritt 5.4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.1.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 K = 9 - 2$

Schritt 5.4.1.2

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$2 K = 7$

Schritt 5.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 K = 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 K = 7$ durch $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Dividiere $K$ durch $1$ .

$K = \frac{7}{2}$

Schritt 6

Setze $\frac{7}{2}$ für $K$ in $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ ein und vereinfache.

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Schritt 6.1

Ersetze $K$ durch $\frac{7}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + \frac{7}{2})}$

Schritt 6.2

Um $x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2})}$

Schritt 6.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{7}{2})}$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \sqrt{2 \frac{x^{2} \cdot 2 + 7}{2}}$

Schritt 6.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y = - \sqrt{2 \frac{2 x^{2} + 7}{2}}$

Schritt 6.6

Kombiniere $2$ und $\frac{2 x^{2} + 7}{2}$ .

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

Schritt 6.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.7.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

Schritt 6.7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \sqrt{\frac{2 x^{2} + 7}{1}}$

Schritt 6.7.2

Dividiere $2 x^{2} + 7$ durch $1$ .

$y = - \sqrt{2 x^{2} + 7}$