Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ durch $6 x - 2 x y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ durch $6 x - 2 x y$ .

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 x - 2 x y$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d x}{d y}$ durch $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.3.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $6 x - 2 x y$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) - 2 x y}$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) + 2 x (- 1 y)}$

Schritt 1.1.3.1.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (3) + 2 x (- 1 y)$ heraus.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - 1 y)}$

Schritt 1.1.3.1.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - y)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $2 x$ .

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x (\frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x}$ mit $\frac{1}{3 - y}$ .

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

Schritt 1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x \frac{d x}{d y} = \frac{1}{3 - y}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$2 x d x = \frac{1}{3 - y} d y$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 2 x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$ um.

$2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Schritt 2.2.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 3 - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 3 - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.3.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 2.3.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$x^{2} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $3 - y$ .

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| 3 - y |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$x^{2} = - \ln (| 3 - y |) + C$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

Schritt 3.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

Schritt 3.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

Schritt 3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$