Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x}$ , $y (0) = 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{4}{1 + x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{4}{1 + x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 1 + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$y + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Ersetze alle $u$ durch $1 + x$ .

$y + C_{1} = 4 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = 4 \ln (| 1 + x |) + C$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $3$ für $y$ in $y = 4 \ln (| 1 + x |) + C$ ersetzt wird.

$3 = 4 \ln (| 1 + 0 |) + C$

Schritt 4

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $4 \ln (| 1 + 0 |) + C = 3$ um.

$4 \ln (| 1 + 0 |) + C = 3$

Schritt 4.2

Vereinfache $4 \ln (| 1 + 0 |) + C$ .

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Schritt 4.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$4 \ln (1) + C = 3$

Schritt 4.2.2.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$4 \cdot 0 + C = 3$

Schritt 4.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 + C = 3$

Schritt 4.2.3

Addiere $0$ und $C$ .

$C = 3$

Schritt 5

Setze $3$ für $C$ in $y = 4 \ln (| 1 + x |) + C$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $C$ durch $3$ .

$y = 4 \ln (| 1 + x |) + 3$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $4 \ln (| 1 + x |)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$y = \ln ({| 1 + x |}^{4}) + 3$

Schritt 5.2.2

Entferne den Absolutwert in ${| 1 + x |}^{4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$y = \ln ({(1 + x)}^{4}) + 3$