Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit ${(2 y + 1)}^{2}$ .

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(2 y + 1)}^{2} \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(2 y + 1)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(2 y + 1)}^{2} \frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 y + 1)}^{2} \frac{d y}{d x} = 4$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

${(2 y + 1)}^{2} d y = 4 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int {(2 y + 1)}^{2} d y = \int 4 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Sei $u = 2 y + 1$ . Dann ist $d u = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 2 y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{2} \frac{1}{2} d u = \int 4 d x$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{2}}{2} d u = \int 4 d x$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int u^{2} d u = \int 4 d x$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{1}) = \int 4 d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{1})$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{1}$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Schritt 2.2.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{6} u^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $2 y + 1$ .

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} + C_{1} = 4 x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3} = 4 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $6$ .

$6 (\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3}) = 6 (4 x + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $6 (\frac{1}{6} {(2 y + 1)}^{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und ${(2 y + 1)}^{3}$ .

$6 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{6} = 6 (4 x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{{(2 y + 1)}^{3}}{6} = 6 (4 x + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 y + 1)}^{3} = 6 (4 x + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $6 (4 x + K)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(2 y + 1)}^{3} = 6 (4 x) + 6 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

${(2 y + 1)}^{3} = 24 x + 6 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{24 x + 6 K}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Forme um.

$2 y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{24 x + 6 K}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $6$ aus $24 x + 6 K$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $6$ aus $24 x$ heraus.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x) + 6 K}$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $6$ aus $6 K$ heraus.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x) + 6 K}$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (4 x) + 6 K$ heraus.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{6 (4 x + K)}$

Schritt 3.5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)}}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 3.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (4 x + K)} - 1}{2}$