Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{3} \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = x^{3} \ln (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{3} \ln (x) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x^{3} \ln (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{3}$ .

$y + C_{1} = \ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{4}}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

Schritt 2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 2.3.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Schritt 2.3.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 2.3.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Schritt 2.3.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

Schritt 2.3.4.2.2.5

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.6.1

Schreibe $\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ als $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kombiniere $\frac{\ln (x)}{4}$ und $x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} \ln (x) - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{4} x^{4} \ln (x) - \frac{1}{16} x^{4} + K$