Analysis Beispiele

$(\arctan (x) + x y) d x + (e^{y} + \frac{x^{2}}{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = \arctan (x) + x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x) + x y]$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\arctan (x) + x y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 1.2.2

Da $\arctan (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\arctan (x)$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 2.2.2

Da $e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2}{2} x$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Schritt 2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Schritt 2.3.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$x = x$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$x = x$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} + \frac{x^{2}}{2} d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int e^{y} d y + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Schritt 5.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2}}{2} y + C$

Schritt 5.4

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2} y}{2} + C$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \arctan (x) + x y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)] = \arctan (x) + x y$

Schritt 8.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Schritt 8.2.2

Da $e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{y}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $y$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Schritt 8.3.3

Da $\frac{y}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2} y}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + \frac{y}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Schritt 8.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{y}{2}$ .

$0 + \frac{2 y}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Schritt 8.3.6

Kombiniere $\frac{2 y}{2}$ und $x$ .

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Schritt 8.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Schritt 8.3.7.2

Dividiere $y x$ durch $1$ .

$0 + y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 + y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Schritt 8.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.5.1

Addiere $0$ und $y x$ .

$y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Schritt 8.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + x y = \arctan (x) + x y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y - x y$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\arctan (x) + x y - x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $x y$ von $x y$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $\arctan (x)$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $\arctan (x)$ , um $g (x)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \arctan (x) d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \arctan (x) d x$

Schritt 10.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \arctan (x)$ und $d v = 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 10.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 10.5

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 10.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 10.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 10.5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 10.5.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 10.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 10.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 10.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Schritt 10.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 10.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (x) = \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 10.8

Entferne die Klammern.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 10.9

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 10.10

Vereinfache.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Schritt 10.11

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 12

Vereinfache $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 12.1.3

Multipliziere $- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.3.1

Stelle $\ln (| x^{2} + 1 |)$ und $\frac{1}{2}$ um.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Schritt 12.1.3.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 12.2

Um $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 12.3

Kombiniere $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} + \frac{- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 12.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 12.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.1

Multipliziere $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Schritt 12.5.1.2

Vereinfache $- 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Schritt 12.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Schritt 12.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Schritt 12.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{1})}{2} + C$

Schritt 12.5.3

Vereinfache.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Schritt 12.6

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$ um.

$f (x, y) = e^{y} + x \arctan (x) + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$