Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = - 5 e^{x + 5}$ , $y (- 5) = 7$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = - 5 e^{x + 5} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - 5 e^{x + 5} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - 5 e^{x + 5} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - 5 \int e^{x + 5} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = x + 5$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = x + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = - 5 \int e^{u} d u$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 5 (e^{u} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$y + C_{1} = - 5 e^{u} + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Ersetze alle $u$ durch $x + 5$ .

$y + C_{1} = - 5 e^{x + 5} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - 5 e^{x + 5} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $- 5$ für $x$ und $7$ für $y$ in $y = - 5 e^{x + 5} + K$ ersetzt wird.

$7 = - 5 e^{- 5 + 5} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- 5 e^{- 5 + 5} + K = 7$ um.

$- 5 e^{- 5 + 5} + K = 7$

Schritt 4.2

Vereinfache $- 5 e^{- 5 + 5} + K$ .

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Schritt 4.2.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$- 5 e^{0} + K = 7$

Schritt 4.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- 5 \cdot 1 + K = 7$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 5 + K = 7$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 7 + 5$

Schritt 4.3.2

Addiere $7$ und $5$ .

$K = 12$

Schritt 5

Setze $12$ für $K$ in $y = - 5 e^{x + 5} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $12$ .

$y = - 5 e^{x + 5} + 12$