Analysis Beispiele

$(2 x y^{2} - 3 y^{3}) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - 3 y^{3}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y^{2}$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- 3 y^{3}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y^{3}$ nach $y$ gleich $- 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 3 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 3 (3 y^{2})$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 9 y^{2}$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y^{2} + 4 x y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 7 - 3 x y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [7 - 3 x y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - 3 x y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x y^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2} \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 3 y^{2}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $3 y^{2}$ von $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 9 y^{2} + 4 x y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 3 y^{2}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 9 y^{2} + 4 x y = - 3 y^{2}$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 9 y^{2} + 4 x y = - 3 y^{2}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 9 y^{2} + 4 x y$ .

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2} + 4 x y)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2} + 4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 y^{2} - (- 9 y^{2}) - (4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 y^{2} + 9 y^{2} - (4 x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 y^{2} + 9 y^{2} - 4 (x y)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $- 3 y^{2}$ und $9 y^{2}$ .

$\frac{6 y^{2} - 4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Schritt 4.3.2.5

Faktorisiere $2 y$ aus $6 y^{2} - 4 x y$ heraus.

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Schritt 4.3.2.5.1

Faktorisiere $2 y$ aus $6 y^{2}$ heraus.

$\frac{2 y (3 y) - 4 x y}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Schritt 4.3.2.5.2

Faktorisiere $2 y$ aus $- 4 x y$ heraus.

$\frac{2 y (3 y) + 2 y (- 2 x)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Schritt 4.3.2.5.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (3 y) + 2 y (- 2 x)$ heraus.

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{2 x y^{2} - 3 y^{3}}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $2 x y^{2}$ heraus.

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x) - 3 y^{3}}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 3 y^{3}$ heraus.

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)$ heraus.

$\frac{2 y (3 y - 2 x)}{y^{2} (2 x - 3 y)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y (3 y - 2 x)$ heraus.

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y^{2} (2 x - 3 y)}$

Schritt 4.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} (2 x - 3 y)$ heraus.

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y (y (2 x - 3 y))}$

Schritt 4.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (2 (3 y - 2 x))}{y (y (2 x - 3 y))}$

Schritt 4.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (3 y - 2 x)}{y (2 x - 3 y)}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 y - 2 x$ und $2 x - 3 y$ .

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{2 (- (- 3 y) - 2 x)}{y (2 x - 3 y)}$

Schritt 4.3.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- (- 3 y) - (2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

Schritt 4.3.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 3 y) - (2 x)$ heraus.

$\frac{2 (- (- 3 y + 2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

Schritt 4.3.5.4

Schreibe $- (- 3 y + 2 x)$ als $- 1 (- 3 y + 2 x)$ um.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y + 2 x))}{y (2 x - 3 y)}$

Schritt 4.3.5.5

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (- 1 (2 x - 3 y))}{y (2 x - 3 y)}$

Schritt 4.3.5.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (2 x - 3 y))}{y (2 x - 3 y)}$

Schritt 4.3.5.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Schritt 4.3.7

Ersetze $M$ durch $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ .

$- \frac{2}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(2 x y^{2} - 3 y^{3}) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x y^{2} - 3 y^{3}) \frac{1}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y^{2} - 3 y^{3}}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $2 x y^{2} - 3 y^{3}$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $2 x y^{2}$ heraus.

$\frac{y^{2} (2 x) - 3 y^{3}}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 3 y^{3}$ heraus.

$\frac{y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} (2 x) + y^{2} (- 3 y)$ heraus.

$\frac{y^{2} (2 x - 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (2 x - 3 y)}{y^{2}} d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.4.2

Dividiere $2 x - 3 y$ durch $1$ .

$(2 x - 3 y) d x + (7 - 3 x y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $7 - 3 x y^{2}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x - 3 y) d x + (7 - 3 x y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $7 - 3 x y^{2}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x - 3 y) d x + \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x - 3 y d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = 2 x - 3 y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int - 3 y d x$

Schritt 8.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int - 3 y d x$

Schritt 8.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 y d x$

Schritt 8.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y x + C$

Schritt 8.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 y x + C$

Schritt 8.6

Vereinfache.

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 3 y x + g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.2

Differenziere.

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Schritt 11.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 y x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.2.2

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 3 y x]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $- 3 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y x$ nach $y$ gleich $- 3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$0 - 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 - 3 x + \frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Subtrahiere $3 x$ von $0$ .

$- 3 x + \frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = \frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

Schritt 12.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{7 - 3 x y^{2}}{y^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + \frac{- 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

Schritt 12.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 12.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + \frac{- 3 x y^{2}}{y^{2}} + 3 x$

Schritt 12.1.2.2.2

Dividiere $- 3 x$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} - 3 x + 3 x$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{7}{y^{2}} - 3 x + 3 x$ .

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Schritt 12.1.3.1

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}} + 0$

Schritt 12.1.3.2

Addiere $\frac{7}{y^{2}}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{7}{y^{2}}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \frac{7}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{7}{y^{2}} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{7}{y^{2}} d y$

Schritt 13.3

Da $7$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$g (y) = 7 \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Schritt 13.4

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$g (y) = 7 \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Schritt 13.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 13.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = 7 \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Schritt 13.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g (y) = 7 \int y^{- 2} d y$

Schritt 13.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$g (y) = 7 (- y^{- 1} + C)$

Schritt 13.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.7.1

Schreibe $7 (- y^{- 1} + C)$ als $7 (- \frac{1}{y}) + C$ um.

$g (y) = 7 (- \frac{1}{y}) + C$

Schritt 13.7.2

Vereinfache.

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Schritt 13.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$g (y) = - 7 \frac{1}{y} + C$

Schritt 13.7.2.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{y}$ .

$g (y) = \frac{- 7}{y} + C$

Schritt 13.7.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (y) = - \frac{7}{y} + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = x^{2} - 3 y x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = x^{2} - 3 y x - \frac{7}{y} + C$