Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x {(2 + x^{2})}^{4}$ , $y (0) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 2 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 2 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $2 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int u^{4} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $u^{4}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{4}}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{4} d u$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C_{2})$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 5} u^{5} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{10} u^{5} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $2 + x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$ ersetzt wird.

$0 = \frac{1}{10} {(2 + 0^{2})}^{5} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0^{2})}^{5} + K = 0$ um.

$\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0^{2})}^{5} + K = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0)}^{5} + K = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot 2^{5} + K = 0$

Schritt 4.2.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1}{10} \cdot 32 + K = 0$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{1}{2 (5)} \cdot 32 + K = 0$

Schritt 4.2.4.2

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + K = 0$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + K = 0$

Schritt 4.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} \cdot 16 + K = 0$

Schritt 4.2.5

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $16$ .

$\frac{16}{5} + K = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $\frac{16}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - \frac{16}{5}$

Schritt 5

Setze $- \frac{16}{5}$ für $K$ in $y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- \frac{16}{5}$ .

$y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = \frac{1}{10} (2^{5} + 5 \cdot 2^{4} x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 5 \cdot 2^{4} x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 5 \cdot 16 x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 10 \cdot 8 {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $10$ mit $8$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{2 \cdot 2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 10 \cdot 4 {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2.8

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2.9

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{2 \cdot 3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2.10

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2.11

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{4}$ .

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Schritt 5.2.2.11.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{2 \cdot 4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2.12

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{5}$ .

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Schritt 5.2.2.12.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + x^{2 \cdot 5}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.2.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + x^{10}) - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{10} \cdot 32 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache.

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$y = \frac{1}{2 (5)} \cdot 32 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$y = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{5} \cdot 16 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $16$ .

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Faktorisiere $10$ aus $80 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{2})) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{2})) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.2.4.4.1

Faktorisiere $10$ aus $80 x^{4}$ heraus.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{4})) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{4})) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.2.4.5.1

Faktorisiere $10$ aus $40 x^{6}$ heraus.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (10 (4 x^{6})) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (10 (4 x^{6})) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.2.4.6.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x^{8}$ heraus.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 (x^{8})) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.2.4.7

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $x^{10}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} - \frac{16}{5}$

Schritt 5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} - \frac{16}{5}$ .

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Schritt 5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + \frac{16 - 16}{5}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + \frac{0}{5}$

Schritt 5.3.3

Dividiere $0$ durch $5$ .

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + 0$

Schritt 5.3.4

Addiere $8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10}$ und $0$ .

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10}$