Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$ , $y (0) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x))$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $\frac{y}{1 + y^{2}}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Schritt 1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y \cos (x)$ heraus.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Schritt 1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Schritt 1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1 + y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.3.2.5

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.2.7

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $1$ für $y$ in $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ ersetzt wird.

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |) = \sin (0) + C$

Schritt 4

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ um.

$\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\sin (0) + C$ .

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Schritt 4.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $0$ und $C$ .

$C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

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Schritt 4.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$C = \frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |)$

Schritt 4.3.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (| 1 |)$

Schritt 4.3.1.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (1)$

Schritt 4.3.1.1.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$C = \frac{1}{2} + 0$

Schritt 4.3.1.2

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$C = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Setze $\frac{1}{2}$ für $C$ in $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $C$ durch $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$