Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} - 4 y + 2 x = 0$ , $y (1) = 10$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} - 4 y = - 2 x$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} - 4 y = - 2 x$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Schritt 1.4.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = - 2$

Schritt 1.5

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- 4 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 4}{x} = - 2$

Schritt 1.6

Stelle $y$ und $\frac{- 4}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4}{x} y = - 2$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 4}{x}$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 4}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 4}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Schritt 2.2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$e^{- 4 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 4 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 4})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 4}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{4}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} (\frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{4}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{4 y}{x}$ mit $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x \cdot x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Schritt 3.2.5.2

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1} x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1 + 4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Schritt 3.2.5.2.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{4}}$ und $- 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{- 2}{x^{4}}$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = - \frac{2}{x^{4}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] = - \frac{2}{x^{4}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] d x = \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{4}} y = \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{4}} y = - \int \frac{2}{x^{4}} d x$

Schritt 7.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{4}} y = - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Schritt 7.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 7.3.2

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 7.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.3.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int x^{- 4} d x$

Schritt 7.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Schritt 7.5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Schritt 7.5.1.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Schritt 7.5.2

Vereinfache.

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Schritt 7.5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = 2 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Schritt 7.5.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Subtrahiere $\frac{2}{3 x^{3}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{4}} y - \frac{2}{3 x^{3}} = C$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{4}} y - \frac{2}{3 x^{3}} - C = 0$

Schritt 8.1.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{4}}$ und $y$ .

$\frac{y}{x^{4}} - \frac{2}{3 x^{3}} - C = 0$

Schritt 8.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Addiere $\frac{2}{3 x^{3}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x^{4}} - C = \frac{2}{3 x^{3}}$

Schritt 8.2.2

Addiere $C$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x^{4}} = \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x^{4}$ .

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

Schritt 8.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2}{3 x^{3}} x^{4} + C x^{4}$

Schritt 8.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.2.1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} x^{4} + C x^{4}$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} (x^{3} x) + C x^{4}$

Schritt 8.4.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} (x^{3} x) + C x^{4}$

Schritt 8.4.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2}{3} x + C x^{4}$

Schritt 8.4.2.1.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + C x^{4}$

Schritt 8.4.2.1.4

Stelle $\frac{2 x}{3}$ und $C x^{4}$ um.

$y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $10$ für $y$ in $y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$ ersetzt wird.

$10 = C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3}$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3} = 10$ um.

$C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3} = 10$

Schritt 10.2

Vereinfache $C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$C \cdot 1^{4} + \frac{2}{3} = 10$

Schritt 10.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$C \cdot 1 + \frac{2}{3} = 10$

Schritt 10.2.2.2

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$C + \frac{2}{3} = 10$

Schritt 10.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Subtrahiere $\frac{2}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 10 - \frac{2}{3}$

Schritt 10.3.2

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$C = 10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 10.3.3

Kombiniere $10$ und $\frac{3}{3}$ .

$C = \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 10.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{10 \cdot 3 - 2}{3}$

Schritt 10.3.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.5.1

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$C = \frac{30 - 2}{3}$

Schritt 10.3.5.2

Subtrahiere $2$ von $30$ .

$C = \frac{28}{3}$

Schritt 11

Setze $\frac{28}{3}$ für $C$ in $y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $\frac{28}{3}$ .

$y = \frac{28}{3} x^{4} + \frac{2 x}{3}$

Schritt 11.2

Kombiniere $\frac{28}{3}$ und $x^{4}$ .

$y = \frac{28 x^{4}}{3} + \frac{2 x}{3}$