Analysis Beispiele

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $y$ aus $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 1.4

Stelle $y$ und $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 2.2.1

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$e^{\int \tan (x) d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (\sec (x))}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\sec (x)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sec (x)$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.5.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.5.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.3

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3.4

Multipliziere $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 3.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Schritt 3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1

Separiere Brüche.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5.3

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5.4

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5.5

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5.6

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5.7

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5.9

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.7

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 3.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

Schritt 3.9

Stelle die Faktoren in $\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$ um.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec^{2} (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\sec (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

Schritt 7

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$\sec (x) y = \tan (x) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $\sec (x) y = \tan (x) + C$ durch $\sec (x)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $\sec (x) y = \tan (x) + C$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (x)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y = \frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.4

Schreibe $\cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \sin (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.6

Separiere Brüche.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Schritt 8.3.1.7

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Schritt 8.3.1.8

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

Schritt 8.3.1.9

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

Schritt 8.3.1.10

Dividiere $C$ durch $1$ .

$y = \sin (x) + C \cos (x)$