Analysis Beispiele

$e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1) d x + 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)]$

Schritt 1.2

Da $e^{x}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ nach $y$ gleich $e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} + x y^{3} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 1.5

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y^{3}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 1.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 1.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 \cdot x y^{2} + \frac{d}{d y} [1])$

Schritt 1.8

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2} + 0)$

Schritt 1.9

Addiere $3 y^{2} + 3 x y^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2})$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2}) + e^{x} (3 x y^{2})$

Schritt 1.10.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + e^{x} (3 x y^{2})$

Schritt 1.10.3

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} (x e^{x} - 6)]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ nach $x$ gleich $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x} - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 2.5.3

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + 0)$

Schritt 2.5.4

Addiere $x e^{x} + e^{x}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x})$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x}) + 3 y^{2} e^{x}$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Da $3 (x e^{x} - 6)$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3 (x e^{x} - 6)$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) \int y^{2} d y$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Schritt 5.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ als $(3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$ um.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3} + C$

Schritt 5.3.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

Schritt 5.3.3.2

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}]$ .

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.3.2

Da $\frac{y^{3}}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x e^{x} - 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x e^{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.3.5

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.3.6

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.3.8

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.3.9

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x}) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.3.10

Addiere $3 (x e^{x} + e^{x})$ und $0$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.3.11

Kombiniere $3$ und $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.3.12.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} (x e^{x}) + y^{3} e^{x} + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 8.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1.1

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3}$ um.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Schritt 9.1.2

Vereinfache $e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ .

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Schritt 9.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x} \cdot 1$

Schritt 9.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1.2.2.1

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$

Schritt 9.1.2.2.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$ um.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x}$

Schritt 9.1.3

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $y^{3} x e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x}$

Schritt 9.1.3.2

Subtrahiere $y^{3} e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$

Schritt 9.1.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$ .

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Schritt 9.1.3.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x y^{3} e^{x}$ und $- y^{3} x e^{x}$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} - e^{x} y^{3} x - y^{3} e^{x}$

Schritt 9.1.3.3.2

Subtrahiere $e^{x} y^{3} x$ von $e^{x} y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + 0 + e^{x} - y^{3} e^{x}$

Schritt 9.1.3.3.3

Addiere $y^{3} e^{x}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} e^{x}$

Schritt 9.1.3.3.4

Subtrahiere $y^{3} e^{x}$ von $y^{3} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + e^{x}$

Schritt 9.1.3.3.5

Addiere $0$ und $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $e^{x}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

Schritt 10.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$

Schritt 12

Vereinfache $f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$ .

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = (3 x e^{x} \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Schritt 12.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x e^{x}$ heraus.

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Schritt 12.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Schritt 12.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = (x e^{x} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Schritt 12.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 18$ heraus.

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 (- 6) \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

Schritt 12.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 \cdot - 6 \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

Schritt 12.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = (x e^{x} - 6) y^{3} + e^{x} + C$

Schritt 12.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$

Schritt 12.2

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$ um.

$f (x, y) = x y^{3} e^{x} - 6 y^{3} + e^{x} + C$