Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt[5]{x}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} d x$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $x^{\frac{1}{5}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{5} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{5}} d x$

Schritt 2.3.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{5}} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{5}}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}} + K$