Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = y^{2} x^{2} + y^{2} + 1 + x^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{d y}{d x} = (y^{2} x^{2} + y^{2}) + 1 + x^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x^{2} + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (y^{2} + 1)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((x^{2} + 1) (y^{2} + 1))$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $y^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ heraus.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1))$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1))$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = (x^{2} + 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Stelle $y^{2}$ und $1$ um.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\arctan (y) = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (\frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y = \tan (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$