Analysis Beispiele

$(x + 2 y) d x + (2 x - y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x + 2 y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 1.2.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2$

Schritt 1.4

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 x - y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x - y]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 = 2$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 = 2$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x + 2 y d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = x + 2 y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x d x + \int 2 y d x$

Schritt 5.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 y d x$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + 2 y x + C$

Schritt 5.4

Vereinfache.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x - y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)] = 2 x - y$

Schritt 8.2

Differenziere.

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Schritt 8.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - y$

Schritt 8.2.2

Da $\frac{1}{2} x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y x]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y x$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - y$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - y$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - y$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$0 + 2 x + \frac{d g}{d y} = 2 x - y$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x + \frac{d g}{d y} = 2 x - y$

Schritt 8.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 2 x = 2 x - y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 2 x - y - 2 x$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - y - 2 x$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $- y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $- y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y d y$

Schritt 10.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int y d y$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 10.5

Schreibe $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ als $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ um.

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + 2 y x - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 12.2

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + 2 y x - \frac{y^{2}}{2} + C$