Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{3 x + 4}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{1}{\sqrt{3 x + 4}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 4}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 4}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 3 x + 4$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 3 x + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $3 x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 2.3.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Schreibe $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{2}{3} {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}} + K$