Analysis Beispiele

$\frac{x d y}{d x} = (3 x - y)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Faktoriere $\frac{d y}{d x}$ aus.

$x \frac{d y}{d x} = (3 x - y)$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = 3 x - y$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = 3 x - y$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{3 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{3 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 + \frac{- y}{x}$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = 3 - \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 - V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 - V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = 3 - V - V$

Schritt 6.1.1.1.2

Subtrahiere $V$ von $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$

Schritt 6.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Schritt 6.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Schritt 6.1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} - \frac{2 V}{x}$

Schritt 6.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 - 2 V}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{3 - 2 V}$ .

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - 2 V$ .

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Schritt 6.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

Schritt 6.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{3 - 2 V} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{3 - 2 V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Sei $u = 3 - 2 V$ . Dann ist $d u = - 2 d V$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Es sei $u = 3 - 2 V$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Differenziere $3 - 2 V$ .

$\frac{d}{d V} [3 - 2 V]$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 2 V$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

$\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

Schritt 6.2.2.1.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $- 2 V$ nach $V$ gleich $- 2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d V} [V]$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Schritt 6.2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$0 - 2$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $3 - 2 V$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |)) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |))$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| 3 - 2 V |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 6.3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (| 3 - 2 V |)$ mit $1$ .

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

Schritt 6.3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Schritt 6.3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.1

Vereinfache $\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Schritt 6.3.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.4.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Schritt 6.3.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

Schritt 6.3.4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - 2 V | x^{2}) = - 2 C$

Schritt 6.3.4.1.3

Stelle die Faktoren in $\ln (| 3 - 2 V | x^{2})$ um.

$\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$

Schritt 6.3.5

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2} | 3 - 2 V |)} = e^{- 2 C}$

Schritt 6.3.6

Schreibe $\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = x^{2} | 3 - 2 V |$

Schritt 6.3.7

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.7.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ um.

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$

Schritt 6.3.7.2

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Schritt 6.3.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Schritt 6.3.7.2.2.1.2

Dividiere $| 3 - 2 V |$ durch $1$ .

$| 3 - 2 V | = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Schritt 6.3.7.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$3 - 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Schritt 6.3.7.4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$

Schritt 6.3.7.5

Teile jeden Ausdruck in $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.7.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 6.3.7.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.7.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 6.3.7.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 6.3.7.5.2.1.2

Dividiere $V$ durch $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 6.3.7.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.7.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.7.5.3.1.1

Vereinfache $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2}$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 6.3.7.5.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 6.4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \frac{\pm \frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 6.4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$V = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache $(\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.2.1.1.1

Kombiniere $C$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y = (\frac{\frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}) x$

Schritt 8.2.2.1.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = (\frac{C}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) x$

Schritt 8.2.2.1.1.3

Kombinieren.

$y = (\frac{C \cdot 1}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

Schritt 8.2.2.1.1.4

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$y = (\frac{C}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

Schritt 8.2.2.1.1.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y = (\frac{C}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) x$

Schritt 8.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{C}{2 x^{2}} x + \frac{3}{2} x$

Schritt 8.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.2.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

Schritt 8.2.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

Schritt 8.2.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3}{2} x$

Schritt 8.2.2.1.2.3

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3 x}{2}$

Schritt 8.2.2.1.2.4

Stelle $\frac{C}{2 x}$ und $\frac{3 x}{2}$ um.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{C}{2 x}$