Analysis Beispiele

$y d x = x d y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$x d y = y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} y d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} y d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} y d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$

Schritt 5.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{C}$

Schritt 5.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| x |}$

Schritt 5.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$ um.

$\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$

Schritt 5.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Schritt 5.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{C} | x |$

Schritt 5.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} | x |$ um.

$| y | = | x | e^{C}$

Schritt 5.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{C}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm | x | C$

Schritt 6.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C | x |$