Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d y} = \frac{(1 + 2 y^{2})}{y \sin (x)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$

Schritt 1.3.2

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Stelle $\sin (x)$ und $\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x)$ um.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x) \sin (x)$

Schritt 1.3.2.2

Füge Klammern hinzu.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\csc (x) \sin (x))$

Schritt 1.3.2.3

Schreibe $\sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x))$

Schritt 1.3.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ mit $1$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\sin (x) d x = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \sin (x) d x = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Schritt 2.2

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 2.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y$

Schritt 2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y$

Schritt 2.3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

Schritt 2.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

Schritt 2.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y$

Schritt 2.3.3.2.5

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + \int 2 y d y$

Schritt 2.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 \int y d y$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + y^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.8

Stelle die Terme um.

$- \cos (x) + C_{1} = y^{2} + \ln (| y |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$\cos (x) = - 1 \cdot y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$\cos (x) = - y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (| y |)}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - 1 \cdot \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot \ln (| y |)$ als $- \ln (| y |)$ um.

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.5

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - 1 \cdot C$

Schritt 3.1.3.1.6

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - C$

Schritt 3.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) - C)$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) + C)$