Analysis Beispiele

$\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$ durch $\cot (x)$ .

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cot (x)$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- 2 y}{\cot (x)}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 1.4

Stelle $y$ und $\frac{- 2}{\cot (x)}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{\cot (x)} y = \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 2}{\cot (x)}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 2}{\cot (x)} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 2}{\cot (x)}$ .

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Schritt 2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\int - \frac{2}{\cot (x)} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{2}{\cot (x)} d x}$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\cot (x)} d x)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} d x)}$

Schritt 2.2.4.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$e^{- (2 \int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x)}$

Schritt 2.2.4.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$e^{- (2 \int \tan (x) d x)}$

Schritt 2.2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 \int \tan (x) d x}$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$e^{- 2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 \ln (\sec (x))}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (\sec^{- 2} (x))}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\sec^{- 2} (x)$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 2.7

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 2.8

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$

Schritt 2.9

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2}$

Schritt 2.10

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (x)}$ zu dividieren.

${(1 \cos (x))}^{2}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Separiere Brüche.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 3.2.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1

Forme den Ausdruck um.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 3.2.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 3.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.2.7.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\frac{- 2}{1} \cos^{2} (x)$ heraus.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 3.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 3.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $\frac{- 2}{1}$ und $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x)}{1} \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 3.2.9

Kombiniere $\frac{- 2 \cos (x)}{1}$ und $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{1} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 3.2.10

Dividiere $- 2 \cos (x) \sin (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Schritt 3.3

Separiere Brüche.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)})$

Schritt 3.4

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})$

Schritt 3.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Schritt 3.6

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Forme den Ausdruck um.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Schritt 3.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.9.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\frac{5}{1} \cos^{2} (x)$ heraus.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos (x) \sin (x)$

Schritt 3.10

Kombiniere $\frac{5}{1}$ und $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x)}{1} \sin (x)$

Schritt 3.11

Kombiniere $\frac{5 \cos (x)}{1}$ und $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x) \sin (x)}{1}$

Schritt 3.12

Dividiere $5 \cos (x) \sin (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 3.13

Stelle die Faktoren in $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$ um.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 y \cos (x) \sin (x) = 5 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] = 5 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] d x = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\cos^{2} (x) y = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\cos^{2} (x) y = 5 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Schritt 7.2

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.2.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 7.2.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 7.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\cos^{2} (x) y = 5 \int - u d u$

Schritt 7.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\cos^{2} (x) y = 5 (- \int u d u)$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 \int u d u$

Schritt 7.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 7.6

Vereinfache.

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Schritt 7.6.1

Schreibe $- 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ als $- 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ um.

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Schritt 7.6.2

Vereinfache.

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Schritt 7.6.2.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = \frac{- 5}{2} u^{2} + C$

Schritt 7.6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} u^{2} + C$

Schritt 7.7

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ durch $\cos^{2} (x)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ durch $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (x)$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $- \frac{5}{2}$ durch $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.3.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Schritt 8.3.1.3

Separiere Brüche.

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.3.1.4

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \sec^{2} (x)$

Schritt 8.3.1.5

Dividiere $C$ durch $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + C \sec^{2} (x)$