Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{1 - y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \sqrt{1 - y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{1 - y}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \sqrt{1 - y}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 1 - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 1 - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

Schritt 2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int d x$

Schritt 2.2.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int d x$

Schritt 2.2.4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int d x$

Schritt 2.2.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int d x$

Schritt 2.2.4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int d x$

Schritt 2.2.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Schreibe $- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ als $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ um.

$- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $1 - y$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = x + K$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere ${(1 - y)}^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{- 2} + \frac{K}{- 2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \frac{x}{2} + \frac{K}{- 2}$

Schritt 3.1.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \frac{x}{2} - \frac{K}{2}$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 - y)}^{1} = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Vereinfache.

$1 - y = {(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Schreibe ${(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})}^{2}$ als $(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$ um.

$1 - y = (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2

Multipliziere $(- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2} - \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 - y = - \frac{x}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.3.1.1

Multipliziere $- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - y = 1 \frac{x}{2} \frac{x}{2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $1$ .

$1 - y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{x}{2}$ .

$1 - y = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 - y = \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 - y = \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - y = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} (- \frac{K}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2

Multipliziere $- \frac{x}{2} (- \frac{K}{2})$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 1 \frac{x}{2} \frac{K}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{K}{2}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} - \frac{K}{2} (- \frac{x}{2}) - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.3

Multipliziere $- \frac{K}{2} (- \frac{x}{2})$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + 1 \frac{K}{2} \frac{x}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{K}{2}$ mit $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{K}{2}$ mit $\frac{x}{2}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{2 \cdot 2} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} - \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4

Multipliziere $- \frac{K}{2} (- \frac{K}{2})$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + 1 \frac{K}{2} \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{K}{2}$ mit $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{K}{2}$ mit $\frac{K}{2}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.4

Potenziere $K$ mit $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.5

Potenziere $K$ mit $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.7

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Addiere $\frac{x K}{4}$ und $\frac{K x}{4}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $K$ um.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.3.2.2

Addiere $\frac{K x}{4}$ und $\frac{K x}{4}$ .

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 (2)} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$1 - y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{K x}{2} + \frac{K^{2}}{4} - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{x^{2}}{4}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{4} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{4}$ als $- \frac{x^{2}}{4}$ um.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{\frac{K x}{2}}{- 1} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{K x}{2}}{- 1}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot \frac{K x}{2} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot \frac{K x}{2}$ als $- \frac{K x}{2}$ um.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} + \frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.5

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{K^{2}}{4}}{- 1}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - 1 \cdot \frac{K^{2}}{4} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.6

Schreibe $- 1 \cdot \frac{K^{2}}{4}$ als $- \frac{K^{2}}{4}$ um.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - \frac{K^{2}}{4} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.7

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} - \frac{K^{2}}{4} + 1$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{K x}{2} + K$