Analysis Beispiele

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Stelle die Terme um.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x^{2} + 1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{1}{x^{2} + 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2} + 1} y = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$e^{\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$e^{\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C$ .

$e^{\arctan (x) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\arctan (x)}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\arctan (x)}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\arctan (x)}$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} (\frac{1}{x^{2} + 1} y) = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2} + 1}$ und $y$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} \frac{y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $e^{\arctan (x)}$ und $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.3

Um $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $e^{\arctan (x)}$ aus $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $e^{\arctan (x)}$ aus $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)$ heraus.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $e^{\arctan (x)}$ aus $e^{\arctan (x)} y$ heraus.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $e^{\arctan (x)}$ aus $e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)$ heraus.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.6

Kombiniere $e^{\arctan (x)}$ und $\frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 3.7

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$ um.

$\frac{e^{\arctan (x)} (x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] d x = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{\arctan (x)} y = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Sei $u = \arctan (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ , folglich $(x^{2} + 1) d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1.1

Es sei $u = \arctan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Differenziere $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Schritt 7.1.1.2

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 7.1.1.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Schritt 7.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{\arctan (x)} y = \int e^{u} u d u$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = e^{u}$ .

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - \int e^{u} d u$

Schritt 7.3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - (e^{u} + C)$

Schritt 7.4

Vereinfache.

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - e^{u} + C$

Schritt 7.5

Ersetze alle $u$ durch $\arctan (x)$ .

$e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ durch $e^{\arctan (x)}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ durch $e^{\arctan (x)}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\arctan (x)}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\arctan (x)}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $\arctan (x)$ durch $1$ .

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\arctan (x)}$ .

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Schritt 8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y = \arctan (x) - 1 + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$