Analysis Beispiele

$\frac{d v}{d t} = \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d v = (\frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d v = \int \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$v + C_{1} = \int \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$v + C_{1} = \int \frac{9}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.2

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$v + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$v + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ nach $t$ ist $\arctan (t) + C_{2}$ .

$v + C_{1} = 9 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.5

Da die Ableitung von $\tan (t)$ gleich $\sec^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (t)$ gleich $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 9 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$v + C_{1} = 9 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$v = 9 \arctan (t) + \tan (t) + K$